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回扣验收特训（二） 数 列
1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
解析：选D ∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.
2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24 B．48
C．66 D．132
解析：选D 由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12，
由等差数列的性质得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，则a6＝12，所以S11＝＝＝132，故选D.
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
解析：选C 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，
∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1
＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，
∴a1＝d，又＝＝＝＝，故选A.
5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018等于( )
A．1 B．2 010
C．4 017 D．0
解析：选C 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前n项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 018＝6×336＋2，∴S2 018＝S2＝4 017.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①÷②可得＝2，
∴q＝，代入①解得a1＝2，
∴an＝2×n－1＝，
∴Sn＝＝4，
∴＝＝2n－1.
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
答案：3n－1
8．已知数列{an}中，a1＝1，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由题意可得＝(n≥2)，
所以＝，＝，＝，…＝，
上述各式左右相乘得＝(n≥2)，
解得an＝(n≥2)，又a1＝1符合，
所以，通项公式an＝(n∈N*)．
答案：an＝
9．在数列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．
解析：由题意可得，a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)·(2an＋1－anan＋1－1)＝0⇒an＋1＝⇒an＋1－1＝⇒＝－1，∴＝－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝，∴a1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.
答案：
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2n－1.
因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，
所以数列{bn－an}的公差d＝2，
所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
所以bn＝2n＋2n－1.
(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
＝＋
＝n(n＋1)＋2n－1.
11．Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由已知，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
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