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第2章 推理与证明(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．
2．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x值为________．
3．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.
4．p＝＋，q＝· (m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小关系为________．
5．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．
①正确；
②推理形式不正确；
③两个“自然数”概念不一致；
④“两个整数”概念不一致．
6．观察下列等式：
C＋C＝23－2，
C＋C＋C＝27＋23，
C＋C＋C＋C＝211－25，
C＋C＋C＋C＋C＝215＋27，
…
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，C＋C＋C＋…＋C＝______________.
7．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．
8．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如果f(1)＝lg，f(2)＝lg 15，则f(2 010)＝__________.
9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．
第1行 1 1
第2行1 0 1
第3行1 1 1 1
第4行1 0 0 0 1
第5行1 1 0 0 1 1
…………
10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么它的反设应该是______________________________．
11．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为_________________________．
12．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．
14．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为_____________________________________________________________________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知a、b、c是互不相等的正数，且abc＝1，
求证：＋＋<＋＋.
16．(14分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
17．(14分)已知a>0，求证： －≥a＋－2.
18．(16分)在不等边△ABC中，A是最小角，
求证：A<60°.
19．(16分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
20．(16分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
第2章 推理与证明(B)
答案
1．2
解析 只有①②对，其余错误．
2．5
解析 每相邻两数相加等于后面的数．
3．512
解析 由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，
∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝＝28，
∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.
∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71
＝＝512.
4．p≤q
解析 q＝
≥＝＋＝p.
5．①
解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
6．24n－1＋(－1)n22n－1
7．若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有b＝b
解析 由类比推理可得．
8．－1
解析 由f(1)＝lg＝lg 15－1，f(2)＝lg 15，
f(3)＝f(2)－f(1)＝1，
f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg 15，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg 15，
f(6)＝f(5)－f(4)＝－1，
f(7)＝f(6)－f(5)＝lg 15－1，
f(8)＝f(7)－f(6)＝lg 15，…，
可以猜想到，从f(7)开始，又重复了上述数值，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(2 010)＝f(335×6)＝f(6)＝－1.
9．2n－1 32
解析 (1)第一次全行的数都是1的是第1行，第二次全行的数都是1的是第3行，第三次全行的数都是1的是第7行，第n次全行的数都是1的是第2n－1行．
(2)1 1 0 0 … 0 0 1 1……第61行
1 0 1 0 … 0 1 0 1 ……第62行
1 1 1 1 … 1 1 1 1……第63行
由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个数为1，所以在第61行的62个数中有32个1.
10．“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<
|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥”
11．
解析 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f＝f，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
12．－2≤a<
解析 当n为偶数时，a<2－，
而2－≥2－＝，∴a<.
当n为奇数时，a>－2－，
而－2－<－2，∴a≥－2.
综上可得－2≤a<.
13．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
14．v1v>0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t＝＋＝，平均速度v1＝＝.
∵v1－v2＝－v2＝－<0，
∴v10，
故只要证2≥2，
即a2＋＋4＋4
≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
18．证明 假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角，∵B>A≥60°，C>A≥60°，
∴A＋B＋C>180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A<60°.
19．(1)证明 tan＝
＝；
(2)解 f(x)是以4为一个周期的周期函数．
证明如下：
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数．
20．(1)解 由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br (p、q、r∈N*且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p、q、r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
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