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第1章 统计案例(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．对于回归分析，下列说法错误的是______．(填序号)
①在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定；
②线性相关系数可以是正的，也可以是负的；
③回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关；
④样本相关系数r∈(－1,1)．
2．现在一个由身高预测体重的回归方程：
体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130(磅)
其中体重与身高分别以磅和英寸为单位．如果换算成公制(1英寸≈2.5 cm,1磅≈0.45 kg)，则回归方程应该是____________________．
3．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y与x的线性回归方程为 ＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，随机误差为________．
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高的数据，她根据这些数据建立的身高y(cm)与年龄x的回归模型为 ＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则叙述正确的是______(只填序号)．
①身高一定是145.83 cm；
②身高在145.83 cm左右；
③身高在145.83 cm以上；
④身高在145.83 cm以下．
5．某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表：
赞同
反对
合计
男
58
40
98
女
64
31
95
合计
122
71
193
由χ2公式可知，你是否有99.9%的把握认为对这一问题的看法与性别有关，填______(“有”或“无”)．
6．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表，那么变量y关于x的线性回归方程是________.
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
7.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过______的前提下认为两个事件有关系．
8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个．在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y)的数据，建立的线性回归方程是＝4.6＋0.8x.这里，斜率的估计等于0.8说明_________________________________________________________________．
9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.
因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约为________．
10．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．
11．若两个分类变量X和Y的列联表为：
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则X与Y之间有关系的概率约为________．
12．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
合计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
合计
146
684
830
据表中数据我们可得出的统计分析推断是__________________________．
13．某工厂为了调查工人文化程度与月收入关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：
月收入2 000元
以下
月收入2 000元
及以上
总计
高中文
化以上
10
45
55
高中文化
及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得χ2＝≈6.109，估计有________把握认为“文化程度与月收入有关系”．
14．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②线性回归方程 ＝ x＋ 必过点(，)；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.
其中错误的是________．(填序号)
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？
16．(14分)研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：
水深x/m
流速
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
y/(m·s－1)
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
(1)求y对x的线性回归方程；
(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？
17．(14分)某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．
18．(16分)在钢中碳含量对于电阻的效应的研究中，得到如下表所示的一组数据：
碳含量x/%
0.10
0.30
0.40
0.55
0.70
0.80
0.95
20℃时电
阻y/Ω
15
18
19
21
22.6
23.8
26
求y与x的线性回归方程．
19．(16分)在研究水果辐照保鲜效果问题时，经统计得到如下数据：
未腐烂
发生腐烂
合计
未辐照
251
249
500
已辐照
203
297
500
合计
454
546
1 000
问：辐照保鲜措施对水果保鲜是否有效？
20．(16分)某地区10名健康儿童头发和血液中的硒含量(1 000 ppm)如下表所示：
血硒
74
66
88
69
91
73
66
96
58
73
发硒
13
10
13
11
16
9
7
14
5
10
(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)若某名健康儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)，预测他的发硒含量．
第1章 统计案例(B)
答案
1．④
解析 相关系数r的范围是[－1,1]．
2．体重预测值＝0.72×身高－58.5
解析 4磅/英寸＝4×(0.45 kg/2.5 cm)
＝0.72(kg/cm)，130磅＝130×0.45 kg＝58.5 kg.
3．10 4．② 5．无 6． ＝0.575x－14.9
7．0.05
解析 χ2＝4.013>3.841.
8．一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右
9．0.05
10．13 正
解析 把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
11．0.999
解析 χ2＝≈18.8>10.828，
查表知P(χ2>10.828)≈0.001，
∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999，
因此有99.9%的把握认为X与Y有关系．
12．传染病与饮用不干净水是有关系的
解析 通过独立性检验可知．
13．97.5%
14．③④
解析 ①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．
15．解 查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而
k＝
＝＝.
由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.
又a>5且15－a>5，a∈Z，即a＝8,9.
故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．
16．解 (1)散点图如图所示．
由图容易看出，x与y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个线性回归方程
＝ ＋ x来反映这种关系．
由上面的分析，可采用列表的方法计算 与回归系数 .
序号
xi
yi
x
xiyi
1
1.40
1.70
1.96
2.380
2
1.50
1.79
2.25
2.685
3
1.60
1.88
2.56
3.008
4
1.70
1.95
2.89
3.315
5
1.80
2.03
3.24
3.654
6
1.90
2.10
3.61
3.990
7
2.00
2.16
4.00
4.320
8
2.10
2.21
4.41
4.641
∑
14.00
15.82
24.92
27.993
于是，＝×14.0＝1.75，＝×15.82＝1.977 5.
＝≈0.733.
＝1.977 5－0.733×1.75≈0.694 8.
y对x的线性回归方程为
＝ ＋ x＝0.694 8＋0.733x.
(2)把x＝1.95代入，易得 ＝0.694 8＋0.733×1.95≈2.12 (m/s)．
计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.
17．解 能．根据题目所给数据得到如下列联表：
哑
不哑
总计
聋
416
241
657
不聋
249
431
680
总计
665
672
1 337
根据列联表中数据得到K2的观测值
k＝
≈95.291>10.828.
因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为聋与哑有关系．
18．解 钢中碳含量对电阻的效应数据如下表：
序号
xi
yi
x
y
xiyi
1
0.10
15
0.01
225
1.5
2
0.30
18
0.09
324
5.4
3
0.40
19
0.16
361
7.6
4
0.55
21
0.302 5
441
11.55
5
0.70
22.6
0.49
510.76
15.82
6
0.80
23.8
0.64
566.44
19.04
7
0.95
26
0.902 5
676
24.7
合计
3.8
145.4
2.595
3 104.2
85.61
由上表中数据，得＝≈0.543，＝×145.4≈20.77，x＝2.595，
所以 ＝≈12.55.
＝20.77－12.55×0.543≈13.96.
所以线性回归方程为 ＝13.96＋12.55x.
19．解 根据题中数据，利用公式，
得χ2＝≈9.295，因为9.295>7.879，因此有99.5%的把握认为辐照保鲜措施对水果保鲜有效．
20．解 (1)散点图如下图所示：
(2)根据线性回归方程的公式求得：
＝＝
≈0.236， ＝－ x＝10.8－0.236×75.4≈－6.99.
故所求线性回归方程为 ＝0.236x－6.99.
(3)当x＝94时， ＝0.236×94－6.99≈15.2.
因此，当地儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)时，该儿童的发硒含量约为15.2(1 000 ppm)．
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