2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练(二十五)空间的角的计算(含解析)苏教版选修2-1.doc

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搜文库,一搜就有!打造优质的在线资源文档搜索平台! 课时跟踪训练(二十五) 空间的角的计算 1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________. 2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________. 3.PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,则二面角A-PB-C的余弦值为________. 4.(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________. 5.已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________. 6.如图,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值. 7.(江西高考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连结CE并延长交AD于F. (1)求证:AD⊥平面CFG; (2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值. 8.如图,在几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA⊥AB,M是EC的中点,EA=DA=AB=2CB. (1)求证:DM⊥EB; (2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值; (3)求二面角M-BD-A的余弦值. 答 案 1.解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3), ∴cos〈,〉===. ∴直线AB,CD所成角的余弦值为. 答案: 2.解析:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N. ∴=,=, ∴cos〈,〉==, 故异面直线AM与CN所成角的余弦值为. 答案: 3.解析:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), =(0,0,1),=(,1,0),=(,0,0),=(0,-1,1).设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则 ⇒ ⇒令x=1,则m=(1,-,0). 设平面PBC的法向量为n=(x′,y′,z′), 则⇒ ⇒令y′=-1,则n=(0,-1,-1), ∴cos〈m,n〉==. 答案: 4.解析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,所以有 令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ, 则sin θ=|cos〈n,〉|==. 答案: 5.解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),E,F,D1(0,0,1). 所以=(-1,0,1),=. 设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则⇒ 取y=1,则n=(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1), ∴cos〈n,u〉=. 答案: 6.解:以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(2,0,0), C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2), F(1,0,1). ∴=(0,2,1),=(1,-2,0),=(2,0,0). 设平面BDF的一个法向量为n=(2,a,b), ∵n⊥,n⊥, ∴即 解得a=1,b=-2.∴n=(2,1,-2). 又设AB与平面BDF所成的角为θ, 则sin θ===. 即AB与平面BDF所成角的正弦值为. 7.解:(1)证明:在△ABD中,因为E是BD中点, 所以EA=EB=ED=AB=1, 故∠BAD=,∠ABE=∠AEB=, 因为△DAB≌△DCB,所以△EAB≌△ECB, 从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=, 所以∠FED=∠FEA, 故EF⊥AD,AF=FD.因为PG=GD,所以FG∥PA. 又PA⊥平面ABCD, 所以GF⊥AD,故AD⊥平面CFG. (2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,,0),P, 故=,= , =. 设平面BCP的一个法向量n1=(1,y1,z1), 则解得 即n1=. 设平面DCP的一个法向量n2=(1,y2,z2), 则解得即n2=(1,,2). 从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 cos θ===. 8.解:以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,设CB=a, 则A(0,0,0),E(2a,0,0), B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a), 所以M(a,a,), (1)证明:=(a,a,-),=(-2a,2a,0), ∴·=a·(-2a)+a·2a+0=0, ∴⊥,即DM⊥EB. (2)=(0,2a,0),=(2a,-2a,-a), 设异面直线AB与CE所成的角为θ, 则cos θ===. 即异面直线AB与CE所成角的余弦值为. (3)∵DA⊥平面EAB,AD⊂平面DAB, ∴平面DAB⊥平面EAB, ∵EA⊂平面EAB,平面EAB∩平面DAB=AB, EA⊥AB. ∴EA⊥平面DAB. ∴=(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量. 设平面MBD的一个法向量为n=(x,y,z), =(a,a,-),=(0,-2a,2a), 则即 令z=a,则n=, 设二面角M-BD-A的平面角为α, 则cos α===. 即二面角M-BD-A的余弦值为. 搜文库,一搜就有!打造优质的在线资源文档搜索平台!
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