四川省宜宾市一中2017-2018学年高三数学上学期第四周 导数与应用小结复习教学设计.doc

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搜文库,一搜就有!打造优质的在线资源文档搜索平台! 导数与应用小结复习 一、选择题 1.正项等比数列中的是函数的极值点,则的值为( )A. B. C. D. 与的值有关 【答案】C 【解析】,则, , , ,故选C。 2.已知定义在上的奇函数的导函数为,当时, 满足, ,则在上的零点个数为( )A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1 【答案】D 又 ∴当 成立, ∵对任意是奇函数, ∴ 时, 即只有一个根就是0. 故选D 3.已知函数为内的奇函数,且当时, ,记, , ,则, , 间的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数是奇函数,则, 即当时, , 构造函数,满足,则函数是偶函数, 结合函数的单调性可得: ,即: . 本题选择D选项. 点睛:对于比较大小、求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). 4.已知是函数的导函数,且对任意的实数都有(是自然对数的底数),,若不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时,即解,构造函数,可令: ,所以 ,由,得: ,由,得: 得出解为,其中恰有两个整数 ,所以时成立,排除A、D. 当,则, , 得:函数在上递减, 上递增,此时的解集至少包括,所以不合题意,故不能取,排除B,本题选C. 5.曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以切线斜率,切线方程为,即,故选C. 二、填空题 1.已知曲线在处的切线经过点,则__________.【答案】 【解析】由,得,∴,∴ 【点睛】 导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入即,求出切点,然后再确定切线方程. 2.已知 ,若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根,则实数的取值范围是______________.【答案】 ∴当或时,,当时, ∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增 可作出大致函数图象如图所示: 令,则当时,方程有一解;当时,方程有两解;时,方程有三解 ∵关于的方程,恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解 ∴,解得,故答案为 点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围;②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 3.函数,,若使得,则__________.【答案】 故,当且仅当等号成立时成立,故 即 点睛:根据题目意思给出的解析式,运用导数求出的最小值,运用基本不等式求出的最小值,从而说明,由等号成立的条件计算出 三、解答题 1.已知函数. (1)若在上递增,求的取值范围; (2)证明: . 【答案】(1)或(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)要使在上递增,只需,且不恒等于0,所以先求得函数的增区间, 是增区间的子区间。(2)当时, , 显然成立. 当时,即证明 ,令 (),即求,由导数可证。 (2)证明:当时, , 显然成立. 当时, , 在上递增,且, ∴,从而在上递减,∴, ∴,即. 综上, . 【点睛】 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面: (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围. 常用思想方法: (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像,数形结合求解. 2.设函数. (1)当,求函数的单调区间; (2)当时,函数有唯一零点,求正数的值. 【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2) 试题解析: 解:(1)依题意,知,其定义域为, 当时, , . 令,解得. 当 时, .此时单调递增; 当时, ,此时单调递减. 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由题可知, . 令,即, 因为,所以 (舍去), . 当时, , 在上单调递减, 当时, , 在上单调递增, 所以的最小值为.因为函数有唯一零点,所以, 由即 可得,因为,所以, 设函数,因为当时该函数是增函数, 所以至多有一解. 因为当时, , 所以方程的解为,即,解得. 点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 3.已知函数的图象在处的切线过点. (1)若,求函数的极值点; (2)设是函数的两个极值点,若,证明: .(提示)【答案】(1) 或;(2)证明见解析. 【解析】试题分析: (2)由导函数的性质可得是函数的极大值, 是函数的极小值,据此构造函数,据此可知,则函数在上单调递减,据此可得. 试题解析: , 又,曲线在处的切线过点, ,得. (1), 令,得,解得或的极值点为或. 是函数的极大值, 是函数的极小值, 要证,只需, , 令,则, 设,则,函数在上单调递减, , . 点睛:应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件。在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0。这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0. 4.已知函数. (1)若函数在区间上单调递增,求的取值范围; (2)设函数,若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析: 试题解析: (1)由得, 在上单调递增, , 的取值范围是. (2)存在,使不等式成立, 存在,使不等式成立. 令,从而, ,, 在上单调递增, . 实数的取值范围为. 5.已知函数为常数),曲线在与轴的交点 处的切线斜率为. (1)求的值及函数的单调区间; (2)若,且,试证明: . 【答案】(1),单调递减区间为,单调递增区间为.(2)见解析 (2)设,构造函数,分别根据函数的单调性,以及,且 即可证明. 试题解析:(1)由,得, 因为曲线在与轴的焦点A处的切线斜率为, 所以,所以,所以, 由,得,由,得, 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为. 所以在上单调递增, 又,所以当时, , 即,所以, 又因为,所以, 由于,所以, 因为,由(1)知函数在区间上单调递增, 所以,即. 【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的导数的单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力,其中利用构造法构造函数是解题的关键. 6.已知函数 为常数, . (1)当 在 处取得极值时,若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围. (2)若对任意的 ,总存在 ,使不等式 成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1);(2)的取值范围是 【解析】试题分析:(1)对函数,令,可得的值,利用导数研究的单调性,然后求得的最值,即可得到的取值范围;(2)利用导数求出在上的最大值,则问题等价于对对任意,不等式成立,然后构造新函数,再对求导,然后讨论,得出的单调性,即可求出的取值范围. (2) 因为,所以,即 所以在上单调递增,所以 问题等价于对任意,不等式成立 设, 则 当时,,所以在区间上单调递减,此时 所以不可能使恒成立,故必有,因为 若,可知在区间上单调递增,在此区间上有满足要求 若,可知在区间上递减,在此区间上有,与恒成立相矛盾,所以实数的取值范围是. 点睛:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题.在处理导数大题时,注意分层得分的原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会. 7.已知曲线 在点 处的切线是 . (1)求实数 的值; (2)若 对任意 恒成立,求实数 的最大值. 【答案】(1); (2)的最大值为 (2)由题意恒成立,整理得 令,则, 令,则,因此在上单调递增,因为, 所以在上小于零,在上大于零,故在上单调递减,在上单调递增,则在上的最小值为,因此,故的最大值为 点睛:恒成立问题的处理方法:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,就转化为;(3)若恒成立,可转化为. 8.已知函数,且. (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求函数的单调区间; (Ⅲ)若函数有最值,写出的取值范围.(只需写出结论) 【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) 【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义进行求解;(Ⅱ)求导,利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换,进而得到函数的单调区间;(Ⅲ)根据前一问直接给出答案即可. 试题解析:(Ⅰ)当时,由题设知. 因为, 所以, . 所以在处的切线方程为. 故的单调递减区间为 ……5分 当时,定义域为. 当变化时, , : x — 0 + 0 — 单调减 极小值 单调增 极大值 单调减 故的单调递减区间为, ,单调递增区间为. 综上所述, 当时, 的单调递减区间为; 当时,故的单调递减区间为, , 单调递增区间为. (Ⅲ) 9.设函数. (1)若函数在上为减函数,求实数的最小值; (2)若存在,使成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)最小值为;(II) 当是易求,当时可求得的值域为,再按 两种情况讨论即可 解析:(1)由已知得, 因在上为减函数,故在上恒成立。 所以当时。 又, 故当时,即时, . 所以,于是,故的最小值为. (2)命题“若存在, ,使成立”等价于 “当时,” ”, 由(1),当时, , . 问题等价于:“当时,有”. 当,由(1),在为减函数, 则,故. 当时,由于在上的值域为 (ii),即,由的单调性和值域知, 存在唯一,使,且满足: 当时, , 为减函数;当时, , 为增函数; 所以, , 所以, ,与矛盾。 综上得 点睛:遇到““若存在, ,使成立””的条件是要进行转化,转化为最值之间的不等关系,利用导数性质结合分类讨论,求出结果。题目可以改编“若任意,使成立”则等价于“” 10.已知在点处的切线方程为. (1)求的值及在上的单调区间; (2)若,且,求证. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析:(1)由函数在某点坐标,和导数值等于切线的斜率可得两个关于的方程组,解得值,再利用导数与函数单调性的关系,解不等式可得单调区间;(2)构造函数 ,求导,判断函数的单调性,利用函数的单调性可证结果. 试题解析:(1), 所以, (2)由(1)得在为增函数,在上为减函数, 所以,由在恒为负, , 设, 则, 所以,所以在递增, , 当时, ,所以, 又,所以, 又在上为减函数, 所以,所以,所以,所以. 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用 11.已知. (1)当时,判断函数在区间上的单调性; (2)求证:曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线. 【答案】(1)详见解析;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)求导数,分析导函数在的正负,即可求出;(2)将问题转化为单调且,结合(1)可证出. ③当时, ,所以时, ,函数单调递减; 时, ,函数单调递增. (2)证明:因为 所以要证曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线, 只需证明:当时,且时函数是单调函数即可. 由(1)可知,当时, 在上递减;在上递增. 因为, . 所以,使得. 所以在区间上, 单调递减,且,在上. 又因为时, , , 所以在上. 综上可知,曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线. 点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会. 12.已知函数(且). (Ⅰ)若为定义域上的增函数,求实数的取值范围; (Ⅱ)令,设函数,且,求证:. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用导函数研究函数的单调性,将原问题转化为恒成立的问题,讨论可得实数的取值范围是; (Ⅱ)由题意结合函数的单调性讨论函数g(x)的性质,结合函数的零点性质即可证得题中的结论. 试题解析: 所以,所以, 当时,易知,当时,则,这与矛盾, 从而不能使恒成立,所以. , 所以 , 令,,,在上增,在上减, ,所以,整理得, 解得或(舍),所以得证. 点睛:该类问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一. 13.设. (l)若对一切恒成立,求的最大值; (2)是否存在正整数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)1;(2)存在满足题意. 【解析】试题分析:(1)即在时,,从而求的参数的范围,,所以函数 ,所以.(2)由(1)可知当时,即,取,,得,即.累加可证到.所以. 试题解析:(1)∵, ∴, ∵,的解为. ∴, ∵对一切恒成立, ∴,∴,∴. 累加得 . ∴. 故存在正整数,使得. 当时,取,有,不符合.故. 14.已知函数,. (Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程; (Ⅱ)探究函数的极值点情况,并说明理由. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据点斜式写出切线方程(2)先求导数,转化研究函数,利用导数易得先减后增,讨论与两个端点值以及最小值点大小关系,确定极值点情况. 试题解析:解:(Ⅰ)依题意,故, 因为,故所求切线方程为,即. (Ⅱ),, 记,则 ,. 当时,,当时,,所以当时,取得极小值, 又,,. (i)当,即时,恒成立,函数在区间上无极值点; (iv)当,即时,,函数在区间上无极值点. 15.已知函数在处取得极小值. (1)求实数的值; (2)设,其导函数为,若的图象交轴于两点且,设线段的中点为,试问是否为的根?说明理由. 【答案】(1)(2)不是的根. 【解析】试题分析:(1)先求导数,再根据,解得,最后列表验证(2)即研究是否成立,因为,利用, 得,所以=0,转化为.其中,最后利用导数研究函数单调性,确定方程解的情况 当时, ,当 时, 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以在处取得极小值,符合题意. 所以. (2)由(1)知函数. ∵函数图象与轴交于两个不同的点,( ), ∴, . 两式相减得 . . 下解. 即. 令,∵,∴, 即.令,. 又,∴, 故不是的根. 16.已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)若存在,且,使得,求证: . 【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)求函数的单调区间,转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解;(2)根据题意对进行分类讨论,当时显然不行, 时,不能有,设,则由即可,利用单调性即可证出. 试题解析:(1)当时, , 又,由, 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 若,则由可得,与相矛盾, 同样不能有, 不妨设,则由, 因为在上单调递减,在上单调递增,且, 所以当时, . 由, ,可得,故, 又在上单调递减,且,所以, 所以,同理,即,解得, 所以. 点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会. 1·7.已知函数, . (1)求函数的单调区间; (2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值. 【答案】(1)见解析(2)2 试题解析:(1)函数的定义域为. 由题意得, 当时, ,则在区间内单调递增; 当时,由,得或(舍去), 当时, , 单调递增, 当时, , 单调递减. 所以当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间; 当时, 的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由, 得, 因为,所以原命题等价于在区间内恒成立. 令, 所以存在唯一的,使得, 且当时, , 单调递增, 当时, , , 所以当时, 有极大值,也为最大值,且 , 所以,又,所以, 所以,因为, 故整数的最小值为2. 点睛:本题属于导数的综合应用题。第一问中要合理确定对进行分类的标准;第二问利用分离参数的方法解题,但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题,此时的解法一般要用到整体代换,即由可得,在解题时将进行代换以使问题得以求解。 搜文库,一搜就有!打造优质的在线资源文档搜索平台!
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