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求解离心率的范围问题
离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
一、【知识储备】求离心率的方法
离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：
（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；
（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；
（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.
二、求解离心率的范围的方法
1 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率
的范围.
【例1】 已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分
线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：
x
y
M
F
O
【牛刀小试】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】
2借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】
【牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】()
3 借助函数的值域求解范围
根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为_________________.【答案】
【牛刀小试】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为______________.【答案】
4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等。
【例4】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为______． 【答案】
【牛刀小试】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】
【迁移运用】
1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ．
y
（第1题）
x
O
F
A
B2
B1
2．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为 。【答案】
3．焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .【答案】
考点：椭圆的标准方程与几何性质.
4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．【答案】
5．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是 【答案】
6．如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 【答案】.
7．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．【答案】
考点：双曲线定义
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．【答案】
9．已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为________________.【答案】
10．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是______________.【答案】（，+）
11．已知是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（点M，N均在第一象限），当直线与直线ON平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为______________.【答案】
12．如下图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点， 为右焦点，延长与
交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是__.【答案】
13若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】
14．椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是_____________.【答案】 [，]
15．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 (1＋，＋∞)
16．.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．【答案】 [，]
17.已知P是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，，则的最大值为 ．【答案】
18．在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.
求解离心率的范围问题（教师版）
离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
一、【知识储备】求离心率的方法
离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：
（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；
（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；
（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.
二、求解离心率的范围的方法
1 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率
的范围.
【例1】 已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段
的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：
x
y
M
F
O
【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.
【牛刀小试】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需，即，
∴，解得，∴，即，而，
∴，即.
2借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式，然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.
【牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】()
【解析】如图所示：|，，，
又∵＜k＜，∴，∴，解得．
3 借助函数的值域求解范围
根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为_________________.【答案】
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式，进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.
【牛刀小试】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为______________.【答案】
【解析】由题意可知，，由可知最大时需最小，由椭圆的定义，即使得最小，如图，设关于直线的对称点，
由，可知.
所以，即，
所以，则.
4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等。
【例4】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为______． 【答案】
【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量，，与的关系式，结合椭圆的范围，即可得到的不等式，从而求出其最小值．
【牛刀小试】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】
【解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以．
通过以上类型的分析，灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题，需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.
【迁移运用】
1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ．
y
（第1题）
x
O
F
A
B2
B1
【答案】
2．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为 。【答案】
【解析】试题分析：由题意得.
考点：直线与圆相切，双曲线离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3．焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .【答案】
考点：椭圆的标准方程与几何性质.
4.在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．【答案】
【解析】试题分析：由题意得，解得
考点：双曲线离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是
【答案】
【解析】
考点：椭圆的性质.
【思路点睛】根据为与的夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，，利用椭圆的性质，可得到，即可解得离心率的取值范围．
6．如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 . 【答案】
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．
【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线方程中即可得出点的
坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用
矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
7．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．【答案】
考点：双曲线定义
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．【答案】
考点：双曲线定义及离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9．已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为_________.【答案】
【解析】把代入椭圆方程解得，取，则；由图可知，所以
；又，所以，
即，解得．
10．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是______________.【答案】（，+）
11．已知是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（点M，N均在第一象限），当直线与直线ON平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为______________.答案】
【解析】因为 ，双曲线的渐近线方程为，与圆 联立，得 ，与双曲线方程联立，得交点 即 ，直线 与直线 平行时，即有 ，即 ，即有 ，即有 ，令 ，由于 ，则 12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是______________.【答案】
13．若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】
【解析】若点关于直线的对称中心在轴上，则，根据题意，不存在这样的点P，
∴双曲线渐近线的斜率．
14．椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是_____________.【答案】 [，]
【解析】 ∵||＋||＝2a，∴||·||≤()2＝a2.当且仅当||＝||＝a时，等号成立，∴2c2≤a2≤3c2，∴2e2≤1≤3e2.∴≤e2≤，即≤e≤.
15．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 (1＋，＋∞)
【解析】 依题意，0<∠AF2F1<，故0
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