青海师大二附中2023届高三下学期四调考试数学试题文试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,则"是""的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间内;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知正方体的棱长为,,,分别是棱,,的中点,给出下列四个命题:
①;
② 直线与直线所成角为;
③ 过,,三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥的体积为.
其中,正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
4.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为( )
A. B.
C. D.
5.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则( )
A. B. C. D.
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中,最大面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
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A.60 B.192 C.240 D.432
10.已知三点A(1,0),B(0, ),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
11.设集合,则 ( )
A. B.
C. D.
12.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中的常数项为______.
14.已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是__________.
15.已知,若,则________.
16.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.
(1)证明:轴;
(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
18.(12分)设函数()的最小值为.
(1)求的值;
(2)若,,为正实数,且,证明:.
19.(12分)已知函数,,且.
(1)当时,求函数的减区间;
(2)求证:方程有两个不相等的实数根;
(3)若方程的两个实数根是,试比较,与的大小,并说明理由.
20.(12分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.
21.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;
(2)求证:.
22.(10分)已知函数.
(1)若,求证:.
(2)讨论函数的极值;
(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据题意得到充分性,验证得出不必要,得到答案.
【详解】
,当时,,充分性;
当,取,验证成立,故不必要.
故选:.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.
2、C
【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.
【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高分,平均成绩为低于分,①错误;
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间内,②正确;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.
3、C
【解析】
画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可.
【详解】
如图;
连接相关点的线段,为的中点,连接,因为是中点,可知,,可知平面,即可证明,所以①正确;
直线与直线所成角就是直线与直线所成角为;正确;
过,,三点的平面截该正方体所得的截面为五边形;如图:
是五边形.所以③不正确;
如图:
三棱锥的体积为:
由条件易知F是GM中点,
所以,
而,
.所以三棱锥的体积为,④正确;
故选:.
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用,涉及空间几何体的体积,直线与平面的位置关系的应用,平面的基本性质,是中档题.
4、B
【解析】
由图象的顶点坐标求出,由周期求出,通过图象经过点,求出,从而得出函数解析式.
【详解】
解:由图象知,,则,
图中的点应对应正弦曲线中的点,
所以,解得,
故函数表达式为.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象及性质,三角函数的解析式等基础知识;考查考生的化归与转化思想,数形结合思想,属于基础题.
5、A
【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
,
当时,,
,,
.
故选:A.
【点睛】
本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.
6、A
【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【详解】
,,,因此,故选:A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
7、B
【解析】
由三视图可知,该三棱锥如图, 其中底面是等腰直角三角形,平面,结合三视图求出每个面的面积即可.
【详解】
由三视图可知,该三棱锥如图所示:
其中底面是等腰直角三角形,平面,
由三视图知,
因为,,
所以,
所以,
因为为等边三角形,
所以,
所以该三棱锥的四个面中,最大面积为.
故选:B
【点睛】
本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
8、A
【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数,,
由题意得,
即,
令,
∴,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴,而,
当且仅当,即当时,等号成立,
∴,
∴.
故选:A.
【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.
9、C
【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.
【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.
故选:C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.
10、B
【解析】
选B.
考点:圆心坐标
11、B
【解析】
直接进行集合的并集、交集的运算即可.
【详解】
解:;
∴.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查集合描述法、列举法的定义,以及交集、并集的运算,是基础题.
12、B
【解析】
由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
函数,可得,
时,,单调递增,
∵,
故不等式的解集等价于不等式的解集.
.
∴.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、160
【解析】
先求的展开式中通项,令的指数为3即可求解结论.
【详解】
解:因为的展开式的通项公式为:;
令,可得;
的展开式中的常数项为:.
故答案为:160.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.
14、
【解析】
∵,
∴ ,
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点,
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,
即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解,
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点,
,
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下,
,
结合图象可知,
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